Sea $F$ el cuerpo de los números complejos. ¿Son equivalentes los dos sistemas de ecuaciones lineales siguiente? Si es así. expresar cada ecuación de cada sistema como combinación lineal del otro. Tal y como en el problema anterior -> Ejercicio 2.
$$\begin{align}
\left\lbrace\begin{aligned}
2x_1+\left(-1+i\right)x_2+x_4&=0\\
3x_2+2ix_3+5x_4&=0
\end{aligned}\right.
\quad\quad
\left\lbrace\begin{aligned}
\left(1+\frac{i}{2}\right)x_1+8x_2-ix_3-x_4&=0\\
\frac{2}{3}x_1-\frac{1}{2}x_2+x_3+7x_4&=0
\end{aligned}\right.
\end{align}$$
Solucion
Para la ecuación 1 del sistema 1 hacemos $2x_1+\left(-1+i\right)x_2+x_4=a\left(\left(1+\frac{i}{2}\right)x_1+8x_2-ix_3-x_4\right)+b\left(\frac{2}{3}x_1-\frac{1}{2}x_2+x_3+7x_4\right)$
Despues de hacer algunas operaciones aritmeticas nos topamos con el siguiente sistema de ecuaciones
\[\begin{align} \begin{aligned} 2&= a + \dfrac{ai}{2} + \dfrac{2b}{3}\\ -1+i&=8a-\dfrac{b}{2}\\ 0&=ai+b\\ 1&=-a+7b \end{aligned} \quad \Rightarrow \quad \begin{aligned} a&= -1 \\ b&= 1 \end{aligned} \end{align}\]de la tercera ecuacion del sistema concluimos que $-ai = b$. Pero al sustituir en la cuarta ecuacion del sistema tenemos que
\[1 = -a - 7ai \quad \implies \quad a=-\frac{1}{50}+i\frac{7}{50} \quad \implies \quad b=\frac{7}{50}+i\frac{1}{50}\]estas soluciones no satisfacen la segunda ecuacion del sistema ya que
\[8\left(-\frac{1}{50}+i\frac{7}{50}\right)-\dfrac{\frac{7}{50}+i\frac{1}{50}}{2} = -\frac{23}{100}+i\frac{111}{100} \neq -1+i\]Concluimos que los dos sistemas de ecuaciones no son equivalentes