Sea $F$ el cuerpo de los números complejos. ¿Son equivalentes los dos sistemas de ecuaciones lineales siguiente? Si es así. expresar cada ecuación de cada sistema como combinación lineal del otro.
$$\begin{align}
\left\lbrace\begin{aligned}
x_1-x_2=0 \\
2x_1+x_2=0
\end{aligned}\right.
\quad\quad
\left\lbrace\begin{aligned}
3x_1+x_2=0 \\
x_1+x_2=0
\end{aligned}\right.
\end{align}$$
Solucion
Para la ecuación 1 del sistema 1 hacemos $x_1-x_2=a(3x_1+x_2)+b(x_1+x_2)$
\[\begin{align} \begin{aligned} 1&= 3a+b \\ -1&=a+b \end{aligned} \quad \Rightarrow \quad \begin{aligned} a&= 1 \\ b&= -2 \end{aligned} \end{align}\]de modo que $x_1-x_2=1(3x_1+x_2)-2(x_1+x_2)$
Para la ecuación 2 del sistema 1 hacemos $2x_1+x_2=a(3x_1+x_2)+b(x_1+x_2)$
\[\begin{align} \begin{aligned} 2&= 3a+b \\ 1&=a+b \end{aligned} \quad \Rightarrow \quad \begin{aligned} a&=\frac{1}{2} \\ b&= \frac{1}{2} \end{aligned} \end{align}\]de modo que $2x_1+x_2=\frac{1}{2}(3x_1+x_2)+\frac{1}{2}(x_1+x_2)$
Para la ecuación 1 del sistema 2 hacemos $3x_1+x_2=a(x_1-x_2)+b(2x_1+x_2)$
\[\begin{align} \begin{aligned} 3&= a+2b \\ 1&=-a+b \end{aligned} \quad \Rightarrow \quad \begin{aligned} a&=\frac{1}{3} \\ b&= \frac{4}{3} \end{aligned} \end{align}\]de modo que $3x_1+x_2=\frac{1}{3}(x_1-x_2)+\frac{4}{3}(2x_1+x_2)$
Para la ecuación 2 del sistema 2 hacemos $x_1+x_2=a(x_1-x_2)+b(2x_1+x_2)$
\[\begin{align} \begin{aligned} 1&= a+2b \\ 1&=-a+b \end{aligned} \quad \Rightarrow \quad \begin{aligned} a&=\frac{-1}{3} \\ b&= \frac{2}{3} \end{aligned} \end{align}\]de modo que $x_1+x_2=\frac{-1}{3}(x_1-x_2)+\frac{2}{3}(2x_1+x_2)$
Finalmente los dos sistemas de ecuaciones son equivalentes.