Sea $F$ el cuerpo de los números complejos. ¿Son equivalentes los dos sistemas de ecuaciones lineales siguiente? Si es así. expresar cada ecuación de cada sistema como combinación lineal del otro. Tal y como en el problema anterior -> Ejercicio 2. $$\begin{align} \left\lbrace\begin{aligned} -x_1+x_2+4x_3=0\\ x_1+3x_2+8x_3=0\\ \frac{1}{2}x_1+x_2+\frac{5}{2}x_3=0 \end{aligned}\right. \quad\quad \left\lbrace\begin{aligned} x_1-x_3=0\\ x_2+3x_3=0 \end{aligned}\right. \end{align}$$

Solucion

Para la ecuación 1 del sistema 1 hacemos $-x_1+x_2+4x_3=a(x_1-x_3)+b(x_2+3x_3)$

\[\begin{align} \begin{aligned} -1&= a \\ 1&=b \\ 4&=-a+3b \end{aligned} \quad \Rightarrow \quad \begin{aligned} a&= -1 \\ b&= 1 \end{aligned} \end{align}\]

de modo que $-x_1+x_2+4x_3=-(x_1-x_3)+(x_2+3x_3)$

Para la ecuación 2 del sistema 1 hacemos $x_1+3x_2+8x_3=a(x_1-x_3)+b(x_2+3x_3)$

\[\begin{align} \begin{aligned} 1&= a \\ 3&= b \\ 8&= -a+3b \end{aligned} \quad \Rightarrow \quad \begin{aligned} a&=1 \\ b&= 3 \end{aligned} \end{align}\]

de modo que $x_1+3x_2+8x_3=(x_1-x_3)+3(x_2+3x_3)$

Para la ecuación 3 del sistema 1 hacemos $\frac{1}{2}x_1+x_2+\frac{5}{2}x_3=a(x_1-x_3)+b(x_2+3x_3)$

\[\begin{align} \begin{aligned} \frac{1}{2}&= a \\ 1&= b \\ \frac{5}{2}&= -a+3b \end{aligned} \quad \Rightarrow \quad \begin{aligned} a&=\frac{1}{2} \\ b&= 1 \end{aligned} \end{align}\]

de modo que $\frac{1}{2}x_1+x_2+\frac{5}{2}x_3=\frac{1}{2}(x_1-x_3)+(x_2+3x_3)$

Para la ecuación 1 del sistema 2 hacemos $x_1-x_3=a(-x_1+x_2+4x_3)+b(x_1+3x_2+8x_3)+c(\frac{1}{2}x_1+x_2+\frac{5}{2}x_3)$

\[\begin{align} \begin{aligned} 1&= -a+b+\frac{c}{2} \\ 0 &= a+3b+c \\ -1&=4a+8b+\frac{5}{2}c \end{aligned} \quad \Rightarrow \quad \begin{aligned} a&=-\frac{3}{4} \\ b&=\frac{1}{4} \\ c&=0 \end{aligned} \end{align}\]

de modo que $x_1-x_3=-\frac{3}{4}(-x_1+x_2+4x_3)+\frac{1}{4}(x_1+3x_2+8x_3)+c(\frac{1}{2}x_1+x_2+\frac{5}{2}x_3)$ $\Rightarrow$ $x_1-x_3=-\frac{3}{4}(-x_1+x_2+4x_3)+\frac{1}{4}(x_1+3x_2+8x_3)$

Para la ecuación 2 del sistema 2 hacemos $x_2+3x_3=a(-x_1+x_2+4x_3)+b(x_1+3x_2+8x_3)+c(\frac{1}{2}x_1+x_2+\frac{5}{2}x_3)$

\[\begin{align} \begin{aligned} 0&= -a+b+\frac{c}{2} \\ 1 &= a+3b+c \\ 1&=4a+8b+\frac{5}{2}c \end{aligned} \quad \Rightarrow \quad \begin{aligned} a&=\frac{1}{4} \\ b&=\frac{1}{4} \\ c&=0 \end{aligned} \end{align}\]

de modo que $x_2+3x_3=\frac{1}{4}(-x_1+x_2+4x_3)+\frac{1}{4}(x_1+3x_2+8x_3)+0(\frac{1}{2}x_1+x_2+\frac{5}{2}x_3)$ $\Rightarrow$ $x_2+3x_3=\frac{1}{4}(-x_1+x_2+4x_3)+\frac{1}{4}(x_1+3x_2+8x_3)$

Finalmente los dos sistemas de ecuaciones son equivalentes.