Demuestre y generalice las siguientes identidades probabilísticas:
- 1. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
- 2. $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(B \cap C) - P(C \cap A) + P(A \cap B \cap C)$
Parte 1: Para dos conjuntos
Por definición de probabilidad de la unión: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) donde $P(A \cap B)$ corrige la doble contabilidad.
Parte 2: Para tres conjuntos (fórmula extendida)
La probabilidad se calcula como: \(\begin{aligned} P(A \cup B \cup C) = & \underbrace{P(A) + P(B) + P(C)}_{\text{Suma individual}} \\ & - \underbrace{[P(A \cap B) + P(A \cap C) + P(B \cap C)]}_{\text{Corrección de pares}} \\ & + \underbrace{P(A \cap B \cap C)}_{\text{Triple intersección}} \end{aligned}\)
Generalización (Principio de Inclusión-Exclusión)
Para $n$ eventos $A_1, A_2, …, A_n$:
\[\begin{aligned} P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) = & \sum_{i=1}^n P(A_i) \\ & - \sum_{1 \leq i < j \leq n} P(A_i \cap A_j) \\ & + \sum_{1 \leq i < j < k \leq n} P(A_i \cap A_j \cap A_k) \\ & - \cdots \\ & + (-1)^{n+1} P\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right) \end{aligned}\]Ejemplo para 4 conjuntos:
\[\begin{aligned} P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4) = & (P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) + P(A_4)) \\ & - (P(A_1 \cap A_2) + \cdots + P(A_3 \cap A_4)) \\ & + (P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) + \cdots ) \\ & - P(A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4) \end{aligned}\]