Solución Cap$:$ 1, Sec$:$1.1, Ejercicio$:$ 2

Un espacio métrico $(X,d)$ con $X$ un conjunto de puntos y $d:X\times X \longrightarrow \mathbb{R}$ que satisface las siguientes propiedades:

1. $d(x,x')=0\Leftrightarrow x=x'$
2. $d(x,x')=d(x',x)$
3. $d(x,x')+d(x',x'')\geq d(x,x'')$

Luego, sea $\tau_d=\left\lbrace O \mid \forall x \in O, \exists \beta_d(x,r)\subset B \colon \beta_d(x,r)\subset O \right\rbrace $ donde $B$ es el conjunto de todos abiertos en $X$ y $\beta_d(x,r)$ es una bola abierta bajo la métrica $d$, solo resta demostrar las siguientes propiedades:

1. Como $X$ y $\emptyset$ son abiertos, entonces están en $\tau_d$.


2. Sea $O_i$ una familia de subconjuntos abiertos arbitraria de $O$ y sea $O'=\bigcup_iO_i$. Si $O'=\emptyset$, entonces $O'$ está en $\tau_d$. Si $O'\neq\emptyset$, sea $x\in O_i$ para algún $i$ y como $O_i\subset O$, entonces $\exists\beta_d(x,r)\subset O_i$ por lo tanto $\beta_d(x,r)\subset O'$, luego $O'$ está en $\tau_d$.


3. Sean $O_1, O_2$ dos subconjuntos cualesquiera de $O$, sea $x\in O_1\cap O_2$, entonces $\exists\beta_d(x,r_1)\subset O_1$ y $\exists\beta_d(x,r_2)\subset O_2$ con $r=\min \{r_1,r_2\}$ tendremos que $\beta_d(x,r)\subseteq \beta_d(x,r_1)$ y $\beta_d(x,r)\subseteq \beta_d(x,r_2)$, por lo tanto $\beta_d(x,r)\subseteq O_1\cap O_2$. Esto demuestra que la intersección está en $\tau_d$, de modo que $\tau_d$ es la topología inducida por la métrica $d$.