9) Probar o proporcionar un contraejemplo para las siguientes afirmaciones:
  1. Si $6 \nmid a$ y $6 \nmid b$, entonces $6 \nmid ab$.
  2. Si $6 \nmid a$ y $6 \nmid b$, entonces $36 \nmid ab$.
  3. Si $6 \nmid a$ y $6 \nmid b$, entonces $6 \nmid (a + b)$.
  1. Falso: Tomemos $a = 2$ y $b = 3$. Como $6 \nmid 2$ y $6 \nmid 3$, pero $6 \mid (2 \cdot 3)$, la afirmación es falsa.

  2. Falso: Tomemos $a = 9$ y $b = 4$. Como $6 \nmid 9$ y $6 \nmid 4$, pero $36 \mid (9 \cdot 4)$, la afirmación es falsa.

  3. Falso: Tomemos $a = 1$ y $b = 5$. Como $6 \nmid 1$ y $6 \nmid 5$, pero $6 \mid (1 + 5)$, la afirmación es falsa.
10) Probar o proporcionar un contraejemplo para las siguientes afirmaciones:
  1. Si $6 \mid a$ y $6 \mid b$, entonces $6 \mid ab$.
  2. Si $6 \mid a$ y $6 \mid b$, entonces $36 \mid ab$.
  1. Por defincion tenemos que $a = 6d$ y $b = 6f$, donde $d$ y $f$ son enteros. Entonces, $ab = (6d)(6f) = 6(6df)$. Dado que $6df$ es un entero, $ab$ es divisible por 6.

  2. Por defincion tenemos que $a = 6d$ y $b = 6f$, donde $d$ y $f$ son enteros. Entonces, $ab = (6d)(6f) = 36(df)$. Dado que $df$ es un entero, $ab$ es divisible por 36.
11) Probar o proporcionar un contraejemplo para las siguientes afirmaciones:
  1. Si $c \mid a$ y $c \mid b$, entonces $c \mid ab$.
  2. Si $c \mid a$ y $c \mid b$, entonces $c^2 \mid ab$.
  3. Si $c \nmid a$ y $c \nmid b$, entonces $c \nmid (a + b)$.
  1. Por definición, si $c\mid a$, entonces $a = cd$ para algún entero $d$, y si $c\mid b$, entonces $b = cf$ para algún entero $f$. Entonces, $ab = (cd)(cf) = c(cdf)$. Como $cdf$ es un entero, $c$ divide a $ab$, por lo tanto $c \mid ab$. siempre que $c\neq0$ obviamente

  2. Por definición, si $c\mid a$, entonces $a = cd$ para algún entero $d$, y si $c\mid b$, entonces $b = cf$ para algún entero $f$. Entonces, $ab = (cd)(cf) = c^2df$. Como $df$ es un entero, $c^2$ divide a $ab$, por lo tanto $c^2 \mid ab$. siempre que $c\neq0$ obviamente

  3. Es falso. Tomemos $a = 1$, $b = 5$ y $= 6$. Como $6 \nmid 1$ y $6 \nmid 5$, pero $6 \mid (1 + 5)$, la afirmación es falsa. como en el ejercicio 9