Pruébese que $A \cup \left( B \cap C\right) = \left( A \cup B \right) \cap \left( A \cup C\right) $.
- ($\Rightarrow$) Sea $x \in A \cup \left( B \cap C\right)$ entonces $x \in A$ o $x \in B \cap C$. Si $x \in A$, entonces $x \in A \cup B$ y $x \in A \cup C$. Si $x \in B \cap C$, entonces $x \in B$ y $x \in C$, lo que implica que $x \in A \cup B$ y $x \in A \cup C$. Por lo tanto, $x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)$.
- ($\Leftarrow$) Sea $x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)$ entonces $x \in A \cup B$ y $x \in A \cup C$. Si $x \in A \cup B$, entonces $x \in A$ o $x \in B$. Si $x \in A$, entonces $x \in A \cup (B \cap C)$. Si $x \in B$, entonces $x \in B \cap C$, lo que implica que $x \in A \cup (B \cap C)$. De manera similar, si $x \in A \cup C$, entonces $x \in A$ o $x \in C$. Si $x \in A$, entonces $x \in A \cup (B \cap C)$. Si $x \in C$, entonces $x \in B \cap C$, lo que implica que $x \in A \cup (B \cap C)$. Por lo tanto, $x \in A \cup (B \cap C)$.