Deriva la media y la varianza para la distribución binomial
Solucion
Una variable aleatoria $x$ se dice que sigue una distribucion binomial con parametros $n$, $p$ lo que escribimos como $x\sim$Bin($x|n,p$), si $\mathcal{X}=${$ 0,1,\dots,n $} y
\[p(x=k) :=\text{Bin}(k|n,p) = \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}, \quad\quad k = 0,1,\dots,n\]sabiendo que
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]Para calcular la media usamos la esperanza, en un punto de la demostracion nos apoyaremos en el Teorema del Binomio
\[\begin{align} \mathbb{E}(x)&=\sum_{k=0}^n kP(k) \\ &=\sum_{k=0}^n kP(k) \\ &=\sum_{k=0}^n k\binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} \\ &=\sum_{k=0}^n k\frac{n!}{k!(n-k)!} p^k(1-p)^{n-k}\quad \text{(el primer elemento es 0)} \\ &=\sum_{k=1}^n k\frac{n!}{k!(n-k)!} p^k(1-p)^{n-k} \\ &= \frac{n!}{(n-1)!} p(1-p)^{n-1}+2\frac{n!}{2!(n-2)!} p^2(1-p)^{n-2}+3\frac{n!}{3!(n-3)!} p^3(1-p)^{n-3}+\cdots+ n\frac{n!}{n!(n-n)!} p^n(1-p)^{n-n}\\ &\text{Primero simplificamos los factoriales}\\ &= np(1-p)^{n-1}+\frac{n(n-1)}{1!} p^2(1-p)^{n-2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{2!} p^3(1-p)^{n-3}+\cdots+ np^n\\ &\text{sacamos factor comun $np$}\\ &= np\left((1-p)^{n-1}+\frac{(n-1)}{1!} p(1-p)^{n-2}+\frac{(n-1)(n-2)}{2!} p^2(1-p)^{n-3}+\cdots+ p^{n-1}\right)\\ &\text{finalmente usamos el Teorema del Binomio}\\ &= np\left((1-p)+p\right)^{n-1}\\ \mathbb{E}(x)&= np\\ \end{align}\]Para calcular la varianza usamos la esperanza calculada anteriormente,
\[\begin{align} \sigma_X^2&=\mathbb{E}(x^2) - \mathbb{E}(x)^2 \\ &=\mathbb{E}(x^2) - (np)^2 \\ &=\sum_{k=0}^n k^2P(k) - (np)^2 \\ &=\sum_{k=0}^n k^2\binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} - (np)^2 \\ &=\sum_{k=0}^n k^2\frac{n!}{k!(n-k)!} p^k(1-p)^{n-k} - (np)^2\quad \text{(el primer elemento es 0)} \\ &=\sum_{k=1}^n k^2\frac{n!}{k!(n-k)!} p^k(1-p)^{n-k} - (np)^2 \\ &\text{sacando factor comun $np$ mas directamente y simplificar $k$ }\\ &= np\left(\sum_{k=1}^n(k)\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}(1-p)^{n-k}\right) - (np)^2\\ &= \frac{n!}{(n-1)!} p(1-p)^{n-1}+2^2\frac{n!}{2!(n-2)!} p^2(1-p)^{n-2}+3^2\frac{n!}{3!(n-3)!} p^3(1-p)^{n-3}+\cdots+ n^2\frac{n!}{n!(n-n)!} p^n(1-p)^{n-n} - (np)^2\\ &\text{Primero simplificamos los factoriales}\\ &= np(1-p)^{n-1}+2\frac{n(n-1)}{1!} p^2(1-p)^{n-2}+3\frac{n(n-1)(n-2)}{2!} p^3(1-p)^{n-3}+\cdots+ n^2p^n - (np)^2 \\ &= np\left((1-p)^{n-1}+2\frac{(n-1)}{1!} p(1-p)^{n-2}+3\frac{(n-1)(n-2)}{2!} p^2(1-p)^{n-3}+\cdots+ np^{n-1}\right) - (np)^2\\ &= np\left(\sum_{k=1}^n(k)\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}(1-p)^{n-k}\right) - (np)^2\\ \end{align}\]