Deriva la media y la varianza para la distribución binomial

Solucion

Una variable aleatoria x se dice que sigue una distribucion binomial con parametros n, p lo que escribimos como x∼Bin(x|n,p), si X={0,1,…,n} y

p(x=k):=Bin(k|n,p)=(nk)pk(1−p)n−k,k=0,1,…,n

sabiendo que

(nk)=n!k!(n−k)!

Para calcular la media usamos la esperanza, en un punto de la demostracion nos apoyaremos en el Teorema del Binomio

E(x)=∑k=0nkP(k)=∑k=0nkP(k)=∑k=0nk(nk)pk(1−p)n−k=∑k=0nkn!k!(n−k)!pk(1−p)n−k(el primer elemento es 0)=∑k=1nkn!k!(n−k)!pk(1−p)n−k=n!(n−1)!p(1−p)n−1+2n!2!(n−2)!p2(1−p)n−2+3n!3!(n−3)!p3(1−p)n−3+⋯+nn!n!(n−n)!pn(1−p)n−nPrimero simplificamos los factoriales=np(1−p)n−1+n(n−1)1!p2(1−p)n−2+n(n−1)(n−2)2!p3(1−p)n−3+⋯+npnsacamos factor comun np=np((1−p)n−1+(n−1)1!p(1−p)n−2+(n−1)(n−2)2!p2(1−p)n−3+⋯+pn−1)finalmente usamos el Teorema del Binomio=np((1−p)+p)n−1E(x)=np

Para calcular la varianza usamos la esperanza calculada anteriormente,

σX2=E(x2)−E(x)2=E(x2)−(np)2=∑k=0nk2P(k)−(np)2=∑k=0nk2(nk)pk(1−p)n−k−(np)2=∑k=0nk2n!k!(n−k)!pk(1−p)n−k−(np)2(el primer elemento es 0)=∑k=1nk2n!k!(n−k)!pk(1−p)n−k−(np)2sacando factor comun np mas directamente y simplificar k =np(∑k=1n(k)(n−1)!(k−1)!(n−k)!pk−1(1−p)n−k)−(np)2=n!(n−1)!p(1−p)n−1+22n!2!(n−2)!p2(1−p)n−2+32n!3!(n−3)!p3(1−p)n−3+⋯+n2n!n!(n−n)!pn(1−p)n−n−(np)2Primero simplificamos los factoriales=np(1−p)n−1+2n(n−1)1!p2(1−p)n−2+3n(n−1)(n−2)2!p3(1−p)n−3+⋯+n2pn−(np)2=np((1−p)n−1+2(n−1)1!p(1−p)n−2+3(n−1)(n−2)2!p2(1−p)n−3+⋯+npn−1)−(np)2=np(∑k=1n(k)(n−1)!(k−1)!(n−k)!pk−1(1−p)n−k)−(np)2