Si $X$ tiene como soporte $X \in S = [1,\infty]$, encontrar el valor de la constante $c$ (como una funcion de $\theta$) que haga que $$f(x)=c e^\left(\frac{-x}{\theta}\right)$$ sea una función de densidad de probabilidad valida.
\[\begin{align} 1&=\int_{1}^{\infty} ce^{-\frac{x}{\theta}} \, dx \\ &= \lim_{a \to \infty}\left( \int_{1}^{a} c \cdot e^{-\frac{1}{\theta} \cdot x} \, dx \right) \quad \text{(la $c$ sale de la integral y del limite)}\\ &= c\lim_{a \to \infty} \left(-\theta \cdot e^{-\frac{1}{\theta} \cdot x} \bigg|_{1}^{\infty}\right) \quad \text{(integramos y evaluamos en los extremos)} \\ &= c\lim_{a \to \infty} \left(-\theta \cdot \left(e^{-\frac{1}{\theta} \cdot a} - e^{-\frac{1}{\theta} \cdot 1}\right)\right) \quad \text{(evaluamos el limite)} \\ &= -c\cdot\theta \cdot (0 - e^{-\frac{1}{\theta}}) \\ &= c\cdot\theta \cdot \left(e^{-\frac{1}{\theta}} - 0\right) \\ 1&= c\cdot\theta \cdot e^{-\frac{1}{\theta}} \end{align}\]

finalmente despejamos c de la ultima ecuacion y tendremos que el valor buscado es

\[c= \dfrac{e^{\frac{1}{\theta}}}{\theta} \quad \text{con} \quad \theta > 0\]