Compruebe las leyes distributivas para la union y la intersección , asi como tambien las leyes De Morgan.

Solucion

Para cualquier conjuntos $A$, $B$, y $C$, primero veremos que $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$,

\[\begin{align} (\subset) \begin{aligned} x \in A \cup (B \cap C) &\implies x \in A \text{ o } x \in (B \cap C)\\ &\implies x \in A \text{ o } \left(x \in B \text{ y } x \in C \right)\\ &\implies \left(x \in A \text{ o } x \in B\right) \text{ y } \left(x \in A \text{ o }x \in C \right)\\ &\implies x \in \left(A \cup B\right) \text{ y } x \in \left(A \cup C\right)\\ &\implies x \in \left(A \cup B\right) \cap \left(A \cup C\right) \end{aligned} \quad\quad\quad\quad (\supset)\begin{aligned} x \in (A \cup B) \cap (A \cup C) &\implies x \in (A \cup B) \text{ y } x \in (A \cup C)\\ &\implies \left(x \in A \text{ o } x \in B\right) \text{ y } \left(x \in A \text{ o }x \in C \right)\\ &\implies x \in A \text{ o } \left(x \in B \text{ y } x \in C \right)\\ &\implies x \in A \text{ o } x \in (B \cap C)\\ &\implies x \in A \cup (B \cap C) \end{aligned} \end{align}\]
Antes de continuar ya habras notado que para estas demostraciones usamos logica y asumimos que la distribucion de los conectivos logicos es cierta, por eso te dejo aqui la tabla de la verdad que servira para de demostracion

Propiedad Distributiva de AND sobre OR:

Para cualquier proposiciones p, q y r:

(p AND q) OR r = (p OR r) AND (q OR r)

Tabla de verdad:

p q r (p AND q) OR r (p OR r) AND (q OR r)
V V V V V
V V F F F
V F V V V
V F F F F
F V V V V
F V F F F
F F V V V
F F F F F

Observamos que los valores de verdad de las expresiones (p AND q) OR r y (p OR r) AND (q OR r) son idénticos para todas las combinaciones de valores de verdad de p, q y r. Por lo tanto, se cumple la propiedad distributiva de AND sobre OR.

Propiedad Distributiva de OR sobre AND:

Para cualquier proposiciones p, q y r:

(p OR q) AND r = (p AND r) OR (q AND r)

Tabla de verdad:

p q r (p OR q) AND r (p AND r) OR (q AND r)
V V V V V
V V F F F
V F V V V
V F F F F
F V V V V
F V F F F
F F V V V
F F F F F

Observamos que los valores de verdad de las expresiones (p OR q) AND r y (p AND r) OR (q AND r) son idénticos para todas las combinaciones de valores de verdad de p, q y r. Por lo tanto, se cumple la propiedad distributiva de OR sobre AND.

Estas demostraciones utilizando tablas de verdad confirman las propiedades distributivas de las conectivas lógicas AND y OR.

Ahora veremos que $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$,

\[\begin{align} (\subset) \begin{aligned} x \in A \cap (B \cup C) &\implies x \in A \text{ y } x \in (B \cup C)\\ &\implies x \in A \text{ y } \left(x \in B \text{ o } x \in C \right)\\ &\implies \left(x \in A \text{ y } x \in B\right) \text{ o } \left(x \in A \text{ y }x \in C \right)\\ &\implies x \in \left(A \cap B\right) \text{ o } x \in \left(A \cap C\right)\\ &\implies x \in \left(A \cap B\right) \cup \left(A \cap C\right) \end{aligned} \quad\quad\quad\quad (\supset)\begin{aligned} x \in (A \cap B) \cup (A \cap C) &\implies x \in \left(A \cap B\right) \text{ o } x \in \left(A \cap C\right)\\ &\implies \left(x \in A \text{ y } x \in B\right) \text{ o } \left(x \in A \text{ y }x \in C \right)\\ &\implies x \in A \text{ y } \left(x \in B \text{ o } x \in C \right)\\ &\implies x \in A \text{ y } x \in (B \cup C)\\ &\implies x \in A \cap (B \cup C) \end{aligned} \end{align}\]

Es el turno ahora de las Leyes De Morgan

Sean los conjuntos $A$, $B$, primero veremos que $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$,

\[\begin{align} (\subset) \begin{aligned} x \in (A \cap B)^c &\implies x \notin (A \cap B)\\ &\implies \text{si no esta en la interseccion,}\\ &\hspace{1.55cm}\text{entonces puede estar en A o en B}\\ &\implies x \notin A \text{ o } x \notin B\\ &\implies x \in A^c \text{ o } x \in B^c\\ &\implies x \in A^c \cup B^c \end{aligned} \quad\quad\quad\quad (\supset)\begin{aligned} x \in A^c \cup B^c &\implies x \in A^c \text{ o } x \in B^c\\ &\implies x \notin A \text{ o } x \notin B\\ &\implies \text{si ni en A ni en B,}\\ &\hspace{1.55cm}\text{entonces no puede estar en la interseccion}\\ &\implies x \notin (A \cap B)\\ & \implies x \in (A \cap B)^c\\ \end{aligned} \end{align}\]

Ahora veremos que $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$,

\[\begin{align} (\subset) \begin{aligned} x \in (A \cup B)^c &\implies x \notin (A \cup B)\\ &\implies \text{si ni en A ni en B,}\\ &\hspace{1.55cm}\text{entonces no puede estar en la interseccion}\\ &\implies x \notin A \text{ y } x \notin B\\ &\implies x \in A^c \text{ y } x \in B^c\\ &\implies x \in A^c \cap B^c \end{aligned} \quad\quad\quad\quad (\supset)\begin{aligned} x \in A^c \cap B^c &\implies x \in A^c \text{ y } x \in B^c\\ &\implies x \notin A \text{ y } x \notin B\\ &\implies \text{si no esta en A y ni en B,}\\ &\hspace{1.55cm}\text{entonces no puede estar en la union}\\ &\implies x \notin (A \cup B)\\ & \implies x \in (A \cup B)^c\\ \end{aligned} \end{align}\]