Si $r$ es racional ($r\neq0$) y $x$ es irracional, demuestre que $r + x$ y $rx$ son irracionales.
Solucion
Procederemos ambas demostraciones por reducción al absurdo. Supongamos que $r+x$ es racional, esto es $r+x=\frac{a}{b}$ para dos enteros $a$ y $b$, $r$ es racional por lo tanto $\frac{c}{d}+x=\frac{a}{b}\Rightarrow x=\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$ lo cual es un absurdo porque $x$ es un irracional, de manera análoga supondremos que $rx$ es racional, esto es $rx=\frac{a}{b}$, con $r$ siendo racional, $\frac{c}{d}x=\frac{a}{b}\Rightarrow x=\frac{ad}{bc}$ lo cual es un absurdo ya que $x$ es irracional