1. Pruébese que $A \cap B=B \cap A$ y $A \cup B=B \cup A$.

  2. Pruébese que $\left( A \cap B\right) \cap C=A \cap \left( B \cap C\right) $.
  1. Sea $x \in A \cap B$ entonces $x \in A$ y $x\in B$ $\Rightarrow$ $x \in B$ y $x\in A$ por lo tanto $x \in B \cap A$, de manera análoga, tenemos que $x \in B \cap A$ entonces $x \in B$ y $x\in A$ $\Rightarrow$ $x \in A$ y $x\in B$, por lo tanto, $x \in A \cap B$, en conclusión $A \cap B=B \cap A$.

    Para la conmutatividad en la unión, sea $x \in A \cup B$ entonces $x \in A$ o $x\in B$ $\Rightarrow$ $x \in B$ o $x\in A$ por lo tanto $x \in B \cup A$, de manera análoga, tenemos que $x \in B \cup A$ entonces $x \in B$ o $x\in A$ $\Rightarrow$ $x \in A$ o $x\in B$, por lo tanto, $x \in A \cup B$, en conclusión $A \cup B=B \cup A$

  2. Sea $x \in \left( A \cap B\right) \cap C$ entonces $x \in \left( A \cap B\right)$ y $x\in C$ $\Rightarrow$ $x \in A$ y $x \in B$ y $x\in C$ luego $x \in A$ y $x \in \left( B \cap C\right) \Rightarrow x \in A \cap \left( B \cap C\right) $, de manera análoga, sea $x \in A \cap \left( B \cap C\right) $ entonces $x \in \left( B \cap C\right) \Rightarrow x \in A$ y $x \in B$ y $x\in C $ luego $x \in \left( A \cap B\right)$ y $x\in C$ $\Rightarrow$ $x \in \left( A \cap B\right) \cap C$ en conclusión $\left( A \cap B\right) \cap C=A \cap \left( B \cap C\right) $