Verificar que el conjunto de los números complejos de la forma $x+iy\sqrt{2}$ con $x,y\in\mathbb{Q}$ es un subcuerpo de $\mathbb{C}$.
Solucion
Procedemos a ver cada uno de los axiomas para comprobar que es un subcuerpo de $\mathbb{C}$ teniendo que $z_1=x_1+iy_1\sqrt{2}$ y que $z_2=x_2+iy_2\sqrt{2}$ con $x_1,x_2,y_1,y_2\in\mathbb{Q}$
- Con $x_1=y_1=0$, $z_1=0$ por lo tanto el $0$ esta en el conjunto.
- Con $x_1=1$ y $y_1=0$, $z_1=1$ por lo tanto el $1$ esta en el conjunto.
- $z_1+z_2=x_1+iy_1\sqrt{2}+x_2+iy_2\sqrt{2}=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)\sqrt{2}$ por lo tanto $z_1+z_2$ pertenece al conjunto.
- $-z_1$ esta en el conjunto ya que basta tomar $x_1$ y $y_1$ como negativos.
- Veamos que $z_1z_2$ pertenecen al conjunto $$\begin{align} z_1z_2&=(x_1+iy_1\sqrt{2})(x_2+iy_2\sqrt{2})\\ &=x_1x_2+ix_1y_2\sqrt{2}+ix_2y_1\sqrt{2}+2y_1y_2\\ &=(x_1x_2+2y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1)\sqrt{2}\\ \end{align}$$
- Veamos que $z_1^{-1}$ con $x_1,y_1\neq0$ pertenece al conjunto $$\begin{align} z_1^{-1}&=\left( \dfrac{1}{x_1+iy_1\sqrt{2}}\right) \left( \dfrac{x_1-iy_1\sqrt{2}}{x_1-iy_1\sqrt{2}}\right) \\ &=\dfrac{x_1-iy_1\sqrt{2}}{\left(x_1+iy_1\sqrt{2} \right) \left( x_1-iy_1\sqrt{2}\right) }\\ &=\dfrac{x_1-iy_1\sqrt{2}}{x_1^2+2y_1^2}\\ &=\dfrac{x_1}{x_1^2+2y_1^2}+i\dfrac{-y_1}{x_1^2+2y_1^2}\sqrt{2} \end{align}$$
Luego el conjunto de los números complejos de la forma $x+iy\sqrt{2}$ con $x,y\in\mathbb{Q}$ es un subcuerpo de $\mathbb{C}$.